segunda-feira, 29 de agosto de 2011

Teorema de tales


Este artigo trata do teorema de Tales enquanto uma mesma nomeação para diferentes
proposições da geometria plana. Tal questão surgiu quando eu analisei livros-texto
representativos entre aqueles usados para o ensino-aprendizagem da geometria dedutiva
no Brasil, a partir do século XIX. O estudo histórico esclareceu a origem e o porquê
desta denominação em diferentes países, com destaque para o caso brasileiro. O que se
constata é que o tema mobiliza discussões importantes e variadas como o
desenvolvimento dos conteúdos, dos livros-texto, da rede de influência entre diferentes
países.


O teorema de Tales é um conteúdo tradicional da geometria plana escolar, sempre
presente em livros-texto da escola básica, sendo uma proposição fundamental no estudo
da semelhança de figuras geométricas, envolvendo o conceito de grandeza e seus
desdobramentos como comensuralidade, incomensuralidade, entre outros. No entanto,
quando o objetivo é conhecer o que os livros-textos usados no ensino apresentam como
teorema de Tales, nos deparamos com uma questão crucial - a do nome, porque teorema
de Tales

nomeia diferentes proposições. Daí a pergunta – qual proposição escolher?  
Tal questão surgiu quando eu fiz um estudo da abordagem dedutiva em geometria
plana em livros-texto usados para o ensino no Brasil a partir do século XIX. O conjunto
dos livros analisados mostrou que o nome teorema de Tales aparece pela primeira vez,
por volta da segunda década do século passado, não havendo qualquer referência à
origem desse uso. Nesse sentido, com base nos autores Patsopoulos e Patronis (2006), 2
fui buscar um esclarecimento que me permitiu apresentar também um quadro geral do
que ocorreu em outros países.

Congruência e Semelhança de Triângulos


Temos que dois triângulos são congruentes:
Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos.
Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos.

Casos de congruência:

1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes.


2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes.


3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente.

4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado.

Através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar medidas. A esse método damos o nome de demonstração.
Dizemos que, em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

Exercícios (Teorema de tales)

1.Calcule a medida dos seguimentos com x e y.Usando o teorema de tales considere R//S//T//U


Resposta: 12/8 = y/4       x/12 = 15/6
                 3/2 = y/4        6x = 180
                 2y = 12           x = 180/6   x = 60
                   y = 6


2.  2x-1/5x+2 = x-2/2


Reposta: 5x²-10x = 4x-2
5x²-14x-2=0
▲ = (14)².4.5.(-2)²
 196+40 = 236


3.Na figura, sendo a// b // c, o valor de x é:
a)3/2
b)3
c)4/3
R = d)2
e)1


Resposta: 3/4x+1 = 2/3x
3.3x = 2(4x+1)
9x = 8x + 2
9x-8x = 2
x = 2


4.(EES-CUPS)Na figura, AB e DE são paralelos.O valor de x é:
a)35
b)6
c) impossivel calcular x
d)x= 3(AB)
e)35/6


Respostas: 7/x = 6/5
6x = 35
x = 35/6

5.Considerando a figura ao lado, determine o comprimento do segmento \overline{AD}, supondo que \overline{DB} = 5 cm\overline{EC} = 10 cm e \overline{AE} = 8 cm.                                        
Resposta:  Pelo teorema de Tales, vale a igualdade \textstyle \frac{\overline{AD}}{\overline{DB}} = \frac{\overline{AE}}{\overline{EC}}, ou seja, \textstyle \frac{\overline{AD}}{5} = \frac{8}{10}. Fazendo-se a multiplicação cruzada, obtém-se que 10 \times \overline{AD} = 5 \times 8 = 40, ou seja, \textstyle \overline{AD} = \frac{40}{10} = 4. Assim, o lado \overline{AD} mede 4 cm.


6.Determine \overline{AD} e \overline{DB}, supondo que na figura ao lado \overline{AB} = 26 cm, \overline{AE} = 8 cm e \overline{EC} = 5 cm.
Resposta:Pelo teorema de Tales, tem-se a igualdade \textstyle \frac{\overline{AD}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{AE}}{\overline{AC}}, que neste caso corresponde a \textstyle \frac{\overline{AD}}{26} = \frac{8}{8 + 5}, ou seja, \textstyle \frac{\overline{AD}}{26} = \frac{8}{13}. Multiplicando-se ambos os membros por 26, resulta que \textstyle \overline{AD} = \frac{26 \times 8}{13} = 2 \times 8 = 16. Portanto, o lado \overline{AD} mede 16 cm.
Além disso, tem-se \overline{AD} + \overline{DB} = \overline{AB}, isto é, 16 + \overline{DB} = 26. Consequentemente, \overline{DB} = 26 - 16 = 10. Então, o lado \overline{DB} mede 10 cm neste caso.


7.Determine AD e DB, supondo que \overline{AB} = 27 cm, \overline{AE} = 10 cm e \overline{AC} = 18 cm. O teorema de Tales garante que \textstyle \frac{\overline{AD}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{AC}}, isto é, que \textstyle \frac{\overline{AD}}{27}=\frac{10}{18}. Então \textstyle 18 \times \overline{AD}=270 e consequentemente \overline{AD}=\frac{270}{18} = 15.
Resposta:
Como \overline{AD}+\overline{DB}=\overline{AB}, resulta que \textstyle 15 + \overline{DB}=27, então \textstyle \overline{DB} = 27 - 15 = 12.

8.Determine \overline{AB}, supondo que \overline{BC} = 10 cm, \overline{DE} = 18 cm e \overline{EF} = 20 cm. 
Resposta: \textstyle\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = \frac{\overline{DE}}{\overline{EF}} que neste caso fica assim :\textstyle \frac{\overline{AB}}{10} = \frac{18}{20}, Fazendo a multiplicação cruzada resulta que \textstyle \overline{AB} = \frac{20 \times 8}{13} = 2 \times 8 = 16. Portanto, o lado \overline{AB} mede 9 cm.

9.Determine \overline{AB} e \overline{BC}, supondo que \overline{AC} = 30 cm, \overline{DE} = 8 cm e \overline{EF} = 7 cm.
Resposta:\frac{30}{\overline{AB}}=\frac{15}{8}
240=15 \overline{AB}
\overline{AB}+\overline{BC}=30
16+\overline{BC}=30
\overline{BC}=14

10.Uma estaca tem 1,50 m e projeta uma sua sombra 2,20 m ao mesmo tempo em 
que um poste projeta uma sombra de  4,90 m. Qual é a altura do poste?

a) 3,34 metros 
b) 3,55 metros 
c) 4,06 metros 
d) 4,52 metros

Parte 1


Parte 2