sexta-feira, 19 de agosto de 2011

Semelhança de triângulos

O Viche tem recebido visitas a partir de pesquisas efetuadas no Google com o termo triângulo em função dos artigos publicados sobre Tecelagem Popular no Triângulo Mineiro. Assim, com o objetivo de atender esse indicativo presente nas estatísticas do blog passo a escrever sobre conceitos relacionados ao termo mencionado: mais especificamente sobre Semelhança entre Triângulos.

Propriedades

a) Reflexiva: Todo triângulo é semelhante a si próprio.
Propriedade Reflexiva
b) Simétrica: Se um triângulo é semelhante a um outro, este é semelhante ao primeiro.
Propriedade Simétrica
c) Transitiva: Se um triângulo é semelhante a um segundo e este é semelhante a um terceiro, então o primeiro é semelhante ao terceiro.

Teorema Fundamental

Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.
A demonstração do Teorema Fundamental é feita a partir do Teorema de Tales, que por sua vez pode ser demonstrado a partir dos critérios de semelhança definidos abaixo (fica como exercício).
Se um feixe de retas paralelas tem duas transversais, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma é igual à razão entre os segmentos correspondentes na outra.
Teorema de Tales
Demonstração do Teorema Fundamental:
A demonstração da congruência dos ângulos dos triângulos ABC e ADE (figura abaixo) decorre do fato de que ângulos correspondentes determinados por duas paralelas são congruentes. Assim, o ângulo B é congruente ao D e o ângulo C é congruente ao E. Como o ângulo A é comum aos dois triângulos concluímos a primeira parte da demonstração.
Teorema Fundamental
Pelo Teorema de Tales temos que:
m(AD)/m(AB) = m(AE)/m(AC) [1]
Por E construímos a reta EF paralela a BD, conforme indicado na figura acima. Do paralelogramo BDEF temos que m(DE) = m(BF). E, novamente, pelo Teorema de Tales:

m(AE)/m(AC) = m(BF)/m(BC) => m(AE)/m(AC) = m(DE)/m(BC) [2]
De [1] e [2] vem que os lados homólogos são proporcionais, o que conclui a demonstração.
Observação: Nos termos do tipo m(AE), utlizados acima, imagine uma barra sobre AE para se ter a notação correta conforme indicado anteriormente.



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